게임 수학 - 선형 독립

1. 벡터의 생성(Span) 시스템

선형 조합(Linear Combination)

벡터의 기본 연산을 사용해 새로운 벡터를 생성하는 수식

$v' = a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+...+a_n v_n$

 

벡터와 스칼라를 곱하면 벡터가 되고, 벡터끼리 더한 것은 벡터가 되기 때문에

결과적으로 어떤 새로운 벡터가 만들어지게(span한다) 됨

 

선형 의존과 선형 독립의 수학적 정의

다음 수식을 만족하는 0이 아닌 계수가 존재하면 수식 내 벡터들은 선형 의존이라 함.

$a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+...+a_n v_n = \vec{0}$

 

다음 수식을 만족하기 위해 모 계수 값이 0이라면 수식 내 벡터들은 선형 독립이라 함.

$a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+...+a_n v_n = 0$

 

문제) (1, 1)와 (2, 2)은 선형 의존인가 선형 독립인가?

$a_1(1, 1)+a_2(2, 2) = \vec{0}$

 

$a_1 = 2, a_2 = -1$을 사용하면 영 벡터가 만들어진다. 0이 아닌 계수를 사용했는데 영 벡터가 만들어졌으므로

두 벡터 (1, 1)과 (2, 2)는 선형 의존이다.

 

문제) (1, 2)와 (2, 1)은 선형 의존인가 선형 독립인가?

위 식은 다음과 같은 연립방정식으로 정리할 수 있다.

$a_1(1, 2)+a_2(2, 1) = (a_1)+(2a_2, 2a_1+a_2)$

$a_1+2a_2 = 0$

$2a_1+a_2 = 0$

 

위 식을 만족하는 값은 $a_1 = 0, a_2 = 0$ 뿐이다. 따라서 두 벡터 (1, 2)와 (2, 1)은 선형 독립이다.

 

 

선형 조합으로 새로운 벡터 생성하기

벡터 (5, 5)를 두 벡터의 조합으로 생성하는 방법

(5, 5) = 5 · (1, 0) + 5 · (0, 1) 로 생성하기

 

(5, 5) = 1 · (1, 3) + 2 · (2, 1)로 생성하기

그렇다면 두 벡터 (2, 1)과 (1, 3)을 조합해 평면 위의 모든 벡터의 생성이 가능한가?

이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$(x, y) = a(2, 1)+b(1, 3)$

 

위 수식은 다음의 연립방정식으로 변경할 수 있다.

$x = 2a + b$

$y = a+3b$

 

위 식에서 $a$와 $b$를 구할 수 있기 때문에 모든 점의 생성이 가능하다.

 

그렇다면 모든 두 벡터의 조합은 평면의 모든 점을 생성할 수 있을까?

벡터(1, 2)와 (2, 4)의 경우,

$(x, y) = a(1, 2)+b(2, 4)$

이 경우 다음의 연립방정식으로 변경할 수 있다.

$x = a+2b$

$y = 2a+4b$

이 경우에는 해가 존재하지 않고 오직 $(x, 2x)$ 형태의 벡터만 생성 가능하다.

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

위 수식은 사실상 (1, 2)의 스칼라 곱으로 표현되기 때문에

벡터(1, 2)의 기울기와 동일한 벡터만 생성된다.

$(x, y) = a(1, 2)+b(2 ,4)$

$= a(1, 2) + 2b(1, 2)$

$= (a+2b)(1, 2)$

 

(2, 4)를 $2b(1, 2)$로 바꿔주게 되면 (1, 2)로 동일하기 때문에 분배법칙에 의해 $a+2b$라는 어떤 스칼라 값에

(1, 2)를 곱한 것에 불과하게 됨.

이는 스칼라와 벡터의 곱셈이 되기 때문에 1차원 선 위에 존재하는, 기울기가 같은 벡터만 생성할 수 있음.

 

어떤 벡터의 조합들은 평면에 있는 모든 벡터들을 생성할 수 있고, 어떤 벡터 조합들은 1차원 선에 있는 벡터만 생성할 수 있다.

→ 평면에 있는 모든 벡터를 생성할 수 있으려면 조합하고자 하는 벡터들이 서로 선형 독립이어야 한다.

또는, 연립방정식으로 바꿨을 때 조건을 만족하는 해가 있을 때만 모든 벡터를 구할 수 있다.

 

2. 기저(Basis)와 차원(Dimension)

기저(Basis): 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립인 벡터들의 집합

기저 벡터(Basis vector): 기저 집합에 속한 원소

차원(Dimension): 기저 집합이 가지는 원소의 수

수학적으로 말하는 차원은 우리가 인지하는 공간에 대한 개념이 아니라, 공간을 형성할 때 사용되는

기저들이 가지고 있는 원소의 수를 의미.

2차원이라고 하면 기저가 가지고 있는 원소의 수가 2개인 것.

 

2차원 평면을 생성하기 위해서는 항상 두 개의 기저 벡터가 필요하다.

앞서서 (5, 5)를 만들기 위한 벡터의 조합은 두 가지가 있었다.

$B_1: (1, 0), (0, 1)$

$B_2: (2, 1), (1, 3)$

 

$B_1, B_2$ 모두 평면의 기저가 될 수 있고 무한히 많은 기저에 대한 경우의 수가 존재하지만,

기저 집합의 원소 수는 언제나 두 개로 동일하다.

기저가 하나라면 벡터와 스칼라의 곱셈 성질로 인해 하나의 선에 해당하는 벡터만 생성할 수 있어 2차원 평면의 모든 벡터를 생성할 수 없고, 기저가 세 개 이상인 경우에는 선형 독립을 만족하지 못한다.

 

앞선 식에서 두 선형 독립인 벡터로 평면 상의 모든 점을 생성할 수 있음을 알 수 있었다.

그렇다면 아래 식의 경우 0벡터를 만들기 위해 0이 아닌 세 번째 계수가 존재할 수 있음을 의미한다.

$(a_1 v_1+a_2 v_2)+a_3 v_3 = 0$

$(-a_3 v_3)+a_3 v_3 = 0$

 

2차원 평면에서 $(a_1 v_1+a_2 v_2)$가 선형 독립이라면, 당연하게도 $v_3$에 $a_3$를 곱한 어떤 벡터를 생성할 수 있고

$(a_1 v_1+a_2 v_2)$의 선형 조합으로 $a_3 v_3$에 대한 덧셈의 역원을 생성할 수 있기 때문에

$a_3$는 0이 아니어도 0벡터를 만들 수 있게 되는 결과가 나옴.

이에 위 3개의 벡터는 선형독립의 정의를 만족하지 못하고, 선형의존이 되어 기저가 될 수 없다.

따라서 평면에서 세 개 이상의 원소로 구성된 기저는 존재하지 않음을 알 수 있다.

 

실 벡터 공간을 표기할 때 몇 개를 서로 곱집합해서 만들어 내었는가, 이러한 차원의 정보를 사용해 첨자를 붙여 다음과 같이 표기한다.

$\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$

 

2차원의 경우 x축과 y축 두 개를 조합해 직교해서 만들어내고 3차원은 거기에 더해 앞 뒤로 직각으로 만들어 3개의 축이 교차된 형태로 공간을 구성함.

인간의 인식 범위를 벗어나더라도 수학적으로 n차원 공간을 만들 수 있고, 그 n차원 공간을 구성하는 모든 벡터를 생성하는 선형 독립인 벡터의 수도 n개가 되며 $\R^n$으로 벡터 공간을 정의하게 됨.

 

표준 기저 벡터(Standard basis vector)

기저벡터 중에서 가장 기본이 되는 벡터.

크기가 1이고, 각 차원, 축에 해당하는, 각 집합에 해당한 딱 하나의 요소만 사용하기 때문에

어떤 공간을 만들어내는 표준이 됨

 

$\mathbb{R}^2$의 표준 기저벡터: $e_1: (1, 0)$        $e_2: (0, 1)$

$\mathbb{R}^3$의 표준 기저벡터: $e_1: (1, 0, 0)$    $e_2: (0, 1, 0)$    $e_3: (0, 0, 1)$

 

 

기저라는 것은 어떤 공간을 형성하는 데 기반이 되는 주춧돌이 되며, 이것의 가장 편하고 일반적인 형태는

표준 기저 벡터지만, 선형 독립이라면 어떤 조합이라도 기저가 될 수 있다.

 

 

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https://www.inflearn.com/course/%EA%B2%8C%EC%9E%84-%EC%88%98%ED%95%99-%EA%B2%8C%EC%9E%84%EC%97%94%EC%A7%84/dashboard

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